胡爾維茨定理是關(guān)于解析函數序列的各項與它們的極限函數在一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)內部零點(diǎn)個(gè)數之間關(guān)系的定理。

簡(jiǎn)介

設D是一個(gè)區域，D內的解析函數序列式f(z)在D內閉一致收斂于函數f(z)，f(z)不恒為0，并設Γ是D內的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)，其內部也在D內，且Γ不經(jīng)過(guò)函數f(z)的零點(diǎn)，則存在一個(gè)依賴(lài)于曲線(xiàn)Γ的正整數N，使得當n>N時(shí)，函數式f(z)在Γ內部的零點(diǎn)個(gè)數等于函數f(z)在Γ內部的零點(diǎn)個(gè)數。

推論

由胡爾維茨定理可以推出：若解析函數序列式f(z)都在D內單葉，則f(z)在D內也單葉。

解析函數

解析函數是區域上處處可微分的復函數。17世紀，L.歐拉和J.leR.達朗貝爾在研究水力學(xué)時(shí)已發(fā)現平面不可壓縮流體的無(wú)旋場(chǎng)的勢函數Φ(x，y)與流函數Ψ(x，y)有連續的偏導數，且滿(mǎn)足微分方程組，并指出f(z)=Φ(x，y)+iΨ(x，y)是可微函數，這一命題的逆命題也成立。

柯西把區域上處處可微的復函數稱(chēng)為單演函數，后人又把它們稱(chēng)為全純函數、解析函數。B.黎曼從這一定義出發(fā)對復函數的微分作了深入的研究，后來(lái)，就把上述的偏微分方程組稱(chēng)為柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼條件。