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最大公約數指兩個(gè)或多個(gè)整數共有約數中最大的一個(gè)。 您可以使用輾轉相除法來(lái)計算兩個(gè)數的最大公約數，也可以使用輾轉相減法來(lái)計算最大公約數。 輾轉相除法計算最大公約數的步驟如下： 1. 用較大數除以較小數，再用出現的余數去除較小的數，如此反復。 2. 直到余數為零為止，此時(shí)較小數即為兩數的最大公約數。 例如，計算12和18的最大公約數，可以按照如下步驟進(jìn)行： 12 ÷ 18 = 0......12 18 ÷ 12 = 1......6 12 ÷ 6 = 2......0 因此，6就是12和18的最大公約數。 以上就是關(guān)于最大公約數的解讀，希望對您有所幫助。最大公約數
最大公因數
兩個(gè)或多個(gè)整數共有約數中最大的一個(gè)
基本信息
| 中文名 | 最大公約數 |
| 外文名 | Greatest Common Divisor(GCD) |
| 別名 | Highest Common Factor(HCF) |
| 應用學(xué)科 | 數學(xué) |
| 相對應概念 | 最小公倍數 |
| 基本概念 | 多個(gè)整數共有約數中最大的一個(gè) |
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基本概念
如果數a能被數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。約數和倍數都表示一個(gè)整數與另一個(gè)整數的關(guān)系，不能單獨存在。如只能說(shuō)16是某數的倍數，2是某數的約數，而不能孤立地說(shuō)16是倍數，2是約數。
"倍"與"倍數"是不同的兩個(gè)概念，"倍"是指兩個(gè)數相除的商，它可以是整數、小數或者分數。"倍數"只是在數的整除的范圍內，相對于"約數"而言的一個(gè)數字的概念，表示的是能被某一個(gè)自然數整除的數。
幾個(gè)整數中公有的約數，叫做這幾個(gè)數的公約數；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數的最大公約數。例如：12、16的公約數有1、2、4，其中最大的一個(gè)是4，4是12與16的最大公約數，一般記為（12，16）=4。12、15、18的最大公約數是3，記為（12，15，18）=3。
求法
質(zhì)因數分解法
例如：求24和60的最大公約數，先分解質(zhì)因數，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24與60的全部公有的質(zhì)因數是2、2、3，它們的積是2×2×3=12，所以，（24，60）=12。
把幾個(gè)數先分別分解質(zhì)因數，再把各數中的全部公有的質(zhì)因數和獨有的質(zhì)因數提取出來(lái)連乘，所得的積就是這幾個(gè)數的最小公倍數。
例如：求6和15的最小公倍數。先分解質(zhì)因數，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的質(zhì)因數是3，6獨有質(zhì)因數是2，15獨有的質(zhì)因數是5，2×3×5=30，30里面包含6的全部質(zhì)因數2和3，還包含了15的全部質(zhì)因數3和5，且30是6和15的公倍數中最小的一個(gè)，所以[6，15]=30。
短除法
短除法求最小公倍數，先用這幾個(gè)數的公約數去除每個(gè)數，再用部分數的公約數去除，并把不能整除的數移下來(lái)，一直除到所有的商中每?jì)蓚€(gè)數都是互質(zhì)的為止，然后把所有的除數和商連乘起來(lái)，所得的積就是這幾個(gè)數的最小公倍數，例如，求12、15、18的最小公倍數。
短除法的本質(zhì)就是質(zhì)因數分解法，只是將質(zhì)因數分解用短除符號來(lái)進(jìn)行。
短除符號就是除號倒過(guò)來(lái)。短除就是在除法中寫(xiě)除數的地方寫(xiě)兩個(gè)數共有的質(zhì)因數，然后落下兩個(gè)數被公有質(zhì)因數整除的商，之后再除，以此類(lèi)推，直到結果互質(zhì)為止（兩個(gè)數互質(zhì)）。
而在用短除計算多個(gè)數時(shí)，對其中任意兩個(gè)數存在的因數都要算出，其它沒(méi)有這個(gè)因數的數則原樣落下。直到剩下每?jì)蓚€(gè)都是互質(zhì)關(guān)系。
求最大公因數便乘一邊，求最小公倍數便乘一圈。
無(wú)論是短除法，還是分解質(zhì)因數法，在質(zhì)因數較大時(shí)，都會(huì )覺(jué)得困難。這時(shí)就需要用新的方法。
輾轉相除法
輾轉相除法：輾轉相除法是求兩個(gè)自然數的最大公約數的一種方法，也叫歐幾里德算法。
例如，求（319，377）：
∵ 319÷377=0（余319）
∴（319，377）=（377，319）；
∵ 377÷319=1（余58）
∴（377，319）=（319，58）；
∵ 319÷58=5（余29）
∴ （319，58）=（58，29）；
∵ 58÷29=2（余0）
∴ （58，29）= 29；
∴ （319，377）=29。
可以寫(xiě)成右邊的格式。
用輾轉相除法求幾個(gè)數的最大公約數，可以先求出其中任意兩個(gè)數的最大公約數，再求這個(gè)最大公約數與第三個(gè)數的最大公約數，依次求下去，直到最后一個(gè)數為止。最后所得的那個(gè)最大公約數，就是所有這些數的最大公約數。
更相減損法
《九章算術(shù)》是中國古代的數學(xué)專(zhuān)著(zhù)，其中的“更相減損術(shù)”可以用來(lái)求兩個(gè)數的最大公約數，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之?！?/span>
翻譯成現代語(yǔ)言如下：
第一步：任意給定兩個(gè)正整數；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡(jiǎn)；若不是則執行第二步。
第二步：以較大的數減較小的數，接著(zhù)把所得的差與較小的數比較，并以大數減小數。繼續這個(gè)操作，直到所得的減數和差相等為止。
則第一步中約掉的若干個(gè)2與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。
其中所說(shuō)的“等數”，就是最大公約數。求“等數”的辦法是“更相減損”法。所以更相減損法也叫等值算法。
例1．用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數。
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公約數等于7。
這個(gè)過(guò)程可以簡(jiǎn)單的寫(xiě)為：
（98，63）=（35，63）=（35，28）=（7，28）=（7，21）=（7，14）=（7，7）=7.
例2．用更相減損術(shù)求260和104的最大公約數。
解：由于260和104均為偶數，首先用2約簡(jiǎn)得到130和52，再用2約簡(jiǎn)得到65和26。
此時(shí)65是奇數而26不是奇數，故把65和26輾轉相減：
65-26=39
39-26=13
26-13=13
所以，260與104的最大公約數等于13乘以第一步中約掉的兩個(gè)2，即13*2*2=52。
這個(gè)過(guò)程可以簡(jiǎn)單地寫(xiě)為：
（260,104）(/2/2) =>（65,26）=（39,26）=（13,26）=（13,13）=13. (*2*2) => 52
比較輾轉相除法與更相減損術(shù)的區別
（1）都是求最大公因數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個(gè)數字大小區別較大時(shí)計算次數的區別較明顯。
常用結論
在解有關(guān)最大公約數、最小公倍數的問(wèn)題時(shí)，常用到以下結論：
（1）如果兩個(gè)自然數是互質(zhì)數，那么它們的最大公約數是1，最小公倍數是這兩個(gè)數的乘積。
例如8和9，它們是互質(zhì)數，所以（8，9）=1，[8，9]=72。
（2）如果兩個(gè)自然數中，較大數是較小數的倍數，那么較小數就是這兩個(gè)數的最大公約數，較大數就是這兩個(gè)數的最小公倍數。
例如18與3，18÷3=6，所以（18，3）=3，[18，3]=18。
（3）兩個(gè)整數分別除以它們的最大公約數，所得的商是互質(zhì)數。
例如8和14分別除以它們的最大公約數2，所得的商分別為4和7，那么4和7是互質(zhì)數。
（4）兩個(gè)自然數的最大公約數與它們的最小公倍數的乘積等于這兩個(gè)數的乘積。
例如12和16，（12，16）=4，[12，16]=48，有4×48=12×16，即（12，16）× [12，16]=12×16。
（5）GCD(a,b) is the smallest positive linear combination of a and b. a與b的最大公約數是最小的a與b的正線(xiàn)性組合，即對于方程xa+yb=c來(lái)說(shuō)，若x,a,y,b都為整數，那么c的最小正根為gcd(a,b).
歷史發(fā)展
在求解最大公約數的幾種方法中，輾轉相除法最為出名。輾轉相除法是仍然在使用的歷史最悠久的算法之一。它首次出現于幾何原本（卷7命題1–2、卷10命題2–3）（大約公元前300年）。在卷7中用于整數，在卷10中用于線(xiàn)段的長(cháng)度（也就是所說(shuō)的實(shí)數，但是當時(shí)未有實(shí)數的概念）。卷10中出現的算法是幾何的，兩段線(xiàn)段a和b的最大公約數是準確測量a和b的最大長(cháng)度。
這個(gè)算法可能并非歐幾里得發(fā)明，而僅僅是將先人的結果編進(jìn)他的幾何原本。數學(xué)家、歷史學(xué)家范德瓦爾登認為卷7的內容可能來(lái)自畢達哥拉斯學(xué)院出身的數學(xué)家寫(xiě)的關(guān)于數論的教科書(shū)。輾轉相除法是被大約公元前375年的歐多克斯發(fā)現的，但也有可能更早之前就已經(jīng)存在，因為歐幾里得和亞里士多德的這兩位歷史名人著(zhù)作中都出現了?νθυφα?ρεσι?一詞（anthyphairesis, 意為“輾轉相減”），
幾個(gè)世紀之后，輾轉相除法又分別被中國人和印度人獨立發(fā)現，主要用來(lái)解天文學(xué)中用到的丟番圖方程以及指定準確的歷法。5世紀末，印度數學(xué)家、天文學(xué)家阿里亞哈塔可能是因為輾轉相除法在解丟番圖方程時(shí)的高效率而稱(chēng)它為“粉碎機”。因為在中國，孫子算經(jīng)中出現了此算法的一個(gè)特例中國剩余定理，但是輾轉相除法的完整表述直到1247年秦九韶的數學(xué)九章中才出現。在歐洲，輾轉相除法首次出現于克勞德·巴希特（英語(yǔ)：Claude Gaspard Bachet de Méziriac）的著(zhù)作Problèmes plaisants et délectables的第二版在歐洲，輾轉相除法廣泛使用于丟番圖方程和連分數。后來(lái)，英國數學(xué)家桑德森（英語(yǔ)：Nicholas Saunderson）將擴展歐幾里得算法作為羅杰科茨（英語(yǔ)：Roger Cotes）對計算連分數的方法的研究發(fā)表。
19世紀，輾轉相除法孕育出了一些新的數系，如高斯整數和艾森斯坦整數。1815年，高斯用輾轉相除法證明高斯整數的分解是惟一的，他的研究發(fā)表于1832年。高斯在他的《算數研究》（published 1801）中，作為處理連分數的方法提到了這個(gè)算法。約翰·狄利克雷是第一個(gè)將輾轉相除法作為數論的基礎的數學(xué)家。狄利克雷提出，數論中的很多結論，如分解的惟一性，在任何使輾轉相除法成立的數系中有效。狄利克雷的觀(guān)點(diǎn)被理查德·戴德金修改和推廣，他用輾轉相除法研究代數整數。戴德金是第一個(gè)用高斯整數的分解惟一性證明費馬平方和定理的數學(xué)家。戴德金還率先定義了歐幾里得整環(huán)的概念。19世紀末，輾轉相除法的輝煌逐漸被戴德金的理想取代。
輾轉相除法的其他應用發(fā)展于19世紀。1829年，施圖姆將輾轉相除法用于施圖姆序列（用于確定多項式的不同實(shí)根的個(gè)數的方法）。
輾轉相除法是歷史上第一個(gè)整數關(guān)系算法（英語(yǔ)：integer relation algorithm），即尋找兩數的整數關(guān)系的算法。近年來(lái)，出現了一些新穎的整數關(guān)系算法，如埃拉曼·弗格森（英語(yǔ)：Helaman Ferguson）和福爾卡德于1979年發(fā)表的弗格森-福爾卡德算法、以及與它相關(guān)的LLL算法（英語(yǔ)：Lenstra–Lenstra–Lovász lattice basis reduction algorithm）、HJLS算法以及PSLQ算法（英語(yǔ)：PSLQ algorithm）。
1969年，科爾(Cole)和戴維(Davie)基于輾轉相除法創(chuàng )造了一種二人游戲，叫做歐幾里得游戲。這個(gè)游戲有最優(yōu)策略。游戲開(kāi)始于兩列分別為a和b個(gè)棋子組成的序列，玩家輪流從較長(cháng)一列中取走較短一列棋子數量的m倍的棋子。如果兩列棋子a和b分別由x和y個(gè)棋子組成，其中x大于y，那么玩家可以序列a的棋子數量減少為自然數x ? my。最后率先將一列棋子清空的玩家勝出。
擴展歐幾里得算法
擴展歐幾里德算法：擴展歐幾里得算法（又稱(chēng)擴充歐幾里得算法）是用來(lái)解某一類(lèi)特定的不定方程的一種方法，常用用來(lái)求解模線(xiàn)性方程及方程組。擴展的歐幾里得算法可以用來(lái)計算模逆元，而模逆元在公鑰密碼學(xué)中占有舉足輕重的地位。
證明：設 a>b。
1，顯然當 b=0，gcd（a，b）=a。此時(shí) x=1，y=0；
2，ab≠0 時(shí)
設 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根據樸素的歐幾里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
則：ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即：ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根據恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以遞歸定義的，因為 gcd 不斷的遞歸求解一定會(huì )有個(gè)時(shí)候 b=0，所以遞歸可以結束。
歐幾里德算法是計算兩個(gè)數最大公約數的傳統算法，無(wú)論從理論還是從實(shí)際效率上都是很好的。但是卻有一個(gè)致命的缺陷，這個(gè)缺陷在素數比較小的時(shí)候一般是感覺(jué)不到的，只有在大素數時(shí)才會(huì )顯現出來(lái)。
Stein算法由J. Stein 1961年提出，這個(gè)方法也是計算兩個(gè)數的最大公約數。和歐幾里德算法算法不同的是，Stein算法只有整數的移位和加減法，這對于程序設計者是一個(gè)福音。
Stein算法：
設置A1=A、B1=B和C1=1
1、如果An=0，Bn*Cn是最大公約數，算法結束
2、如果Bn=0，An*Cn是最大公約數，算法結束
3、如果An和Bn都是偶數，則An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2只要把整數左移一位即可，除2只要把整數右移一位即可)
4、如果An是偶數，Bn不是偶數，則An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn (很顯然啦，2不是奇數的約數)
5、如果Bn是偶數，An不是偶數，則Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn (很顯然啦，2不是奇數的約數)
6、如果An和Bn都不是偶數，則An+1=|An-Bn|，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn
7、n加1，轉步驟1
考慮歐幾里德算法，最?lèi)毫拥那闆r是，每次迭代a=2b-1,這樣，迭代后，r=b-1。如果a小于2N，這樣大約需要4N次迭代。而考慮Stein算法，每次迭代后，顯然A(n+1)B(n+1)≤AnBn/2，最大迭代次數也不超過(guò)4N次。也就是說(shuō)，迭代次數幾乎是相等的。但是，需要注意的是，對于大素數，試商法將使每次迭代都更復雜，因此對于大素數Stein將更有優(yōu)勢。
性質(zhì)
gcd(-a,b)=gcd(a,b)
gcd(a,a)=|a|
gcd(a,0)=|a|
gcd(a,1)=1
gcd(a,b)=gcd(b, a mod b)
gcd(a,b)=gcd(b, a-b)
如果有附加的一個(gè)自然數m,
gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b)
如果m是a和b的最大公約數，
則： gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m
在乘法函數中有：
gcd(ab,m)=gcd(a,m) * gcd(b,m)
兩個(gè)整數的最大公約數主要有兩種尋找方法：
* 兩數各分解質(zhì)因數，然后取出同樣有的質(zhì)因數乘起來(lái)
*輾轉相除法（擴展版）
和最小公倍數（lcm）的關(guān)系：
gcd(a, b) * lcm(a, b) = ab
a與b有最大公約數，
兩個(gè)整數的最大公因子和最小公倍數中存在分配律：
* gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))
* lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))
在坐標里，將點(diǎn)(0, 0)和(a, b)連起來(lái)，通過(guò)整數坐標的點(diǎn)的數目（除了(0, 0)一點(diǎn)之外）就是gcd(a, b)。
程序實(shí)現
Java實(shí)現
importjava.util.Scanner;
publicclassSix{
publicstaticvoidmain(String[]args){
System.out.print("請輸入a和b");
Scannerscan=newScanner(System.in);//以空格作為分隔符
inta=scan.nextInt();
intb=scan.nextInt();
intmiddle1,middle2,middle3;
middle1=a;
middle2=b;
middle3=0;
for(inti=0;i
middle3=middle1%middle2;
if(middle3==0)
break;
else{
middle1=middle2;
middle2=middle3;
}
}
System.out.println("最大公約數為："+middle2);
}
}
PASCAL
programzuidagongyueshu;varm,n,a,b,r:integer;begin//主程序write('Inputm,n=');readln(m,n);a:=m;b:=n;repeatr:=amodb;a:=b;b:=r;untilrb=0;writeln('Thegreatestcommondivideis:',a);end.
programgcd;vark,a,b:integer;functiongcd(a,b:integer):integer;beginifamodb=0thenexit(b)elsegcd:=gcd(b,amodb);end;beginreadln(a,b);k:=gcd(a,b);writeln(k);end.
#includeintmain(){intm,n,i;scanf("%d",&m);scanf("%d",&n);for(i=m;i>=1;i--)if(m%i==0&&n%i==0)break;printf("%d
",i);return0;}
遞歸算法
1.C語(yǔ)言程序如下：#include#include/**最大公約數的遞歸：*1、若a可以整除b，則最大公約數是b*2、如果1不成立，最大公約數便是b與a%b的最大公約數*示例：求(140,21)*140%21=14*21%14=7*14%7=0*返回7**/intgcd(inta,intb){if(a%b==0)returnb;returngcd(b,a%b);}intmain(void){inta=10,b=8;scanf("%d%d",&a,&b);printf("GCD:A=>%d,B=>%d(A,B)=%d
",a,b,gcd(a,b));return0;}
C++:intgcd(inta,intb){inttemp;while(b){/*利用輾除法，直到b為0為止*/temp=b;b=a%b;a=temp;}returna;}分數的最大公約數為：例（5/6，5/9）=（5,5）/【6,9】=5/18遞歸算法(c++實(shí)現)
2.C++程序如下：#include<cstdio>intGCD(inta,intb){returna%b?gcd(b,a%b):b;}intmain(){intx,y;scanf("%d%d",&x,&y);printf("%d",GCD(x,y));return0;}3.輾轉相除法(Matlab實(shí)現)functionGCD=Euclid(m,n)%輾轉相除法(即歐幾里德算法)。r=mod(m,n);whiler~=0r=mod(m,n);m=n;n=r;endGCD=m;>>m=319;n=377;Euclid(m,n)ans=29
4.遞歸算法（Python實(shí)現）defgcd(n1,n2):"""greatestcommondivisorfunction"""if(n1%n2==0):returnn2returngcd(n2,n1%n2)
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尚可名片
這家伙太懶了，什么都沒(méi)寫(xiě)！
作者
