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高斯定理（應用于數學(xué)等學(xué)科的理論）

次瀏覽 | 更新時(shí)間：2023-05-20

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高斯定理

應用于數學(xué)等學(xué)科的理論

對于一個(gè)矢量場(chǎng)V，其散度的體積分等于V在此體積表面上的法向分量的面積分，上述定理被成為高斯定理（英文：Gauss's law），又稱(chēng)為散度定理（Divergence theorem）。

基本信息

中文名

高斯定理

英文名

Gauss's law，Divergence theorem

提出時(shí)間

1813年

相關(guān)人物

奧斯特洛格拉特斯基、高斯

高斯定理把矢量場(chǎng)通過(guò)曲面的流動(dòng)(即通量)與曲面內部的向量場(chǎng)的表現聯(lián)系了起來(lái)，將復雜的曲面積分計算轉化為較為簡(jiǎn)單的三重積分運算，在電磁學(xué)等領(lǐng)域中也具有運用。

基本概念

若某封閉區域空間

的邊界

由光滑或分片光滑的閉曲面所圍成，函數P(x,y,z)，Q(x;y,z)，R(x.y,z)在

上具有一階連續偏導數，則

式中

是邊界曲面

的外側，稱(chēng)上式為高斯定理，也稱(chēng)為高斯公式或散度定理。此定理揭示了空間區域

上的三重積分與沿

的邊界曲面

的面積分之間的關(guān)系。

高斯定理能夠將計算復雜的曲面積分轉化為較為簡(jiǎn)單的三重積分運算，運用高斯定理還能得出許多有用的推論。

證明

首先假設

是體單連通域，如右圖所示構建空間直角坐標系，則

其中

為有界封閉區域，函數

在定義域

上連續，分別記為

，則有

當

為更一般的區域時(shí)，可以利用平行于某一坐標平面的平面將該區域分割為若干體單連通域，在這些子區域中均滿(mǎn)足上述公式，累加仍可得到上述結果。

同理可證：

將上述三個(gè)等式相加，即得到高斯定理。

歷史

1826年，蘇聯(lián)數學(xué)家?jiàn)W斯特洛格拉特斯基（Mikhail Ostrogradsky）首先撰文發(fā)表了散度定理。由于德國數學(xué)家約翰·卡爾·弗里德里?！?/span>高斯（Karl Friedrich Gauss）在1813年他的著(zhù)作中已經(jīng)研究了這一定理，只是未及時(shí)發(fā)表，因此散度定理也稱(chēng)為高斯定理。

其他形式

第一類(lèi)曲面積分形式

由兩類(lèi)曲面之間的聯(lián)系立即可以給出高斯公式的第一類(lèi)曲面積分形式：

矢量形式

高斯定理也可以從場(chǎng)論的觀(guān)點(diǎn)進(jìn)行闡釋。場(chǎng)論是運用數學(xué)理論研究某些物理量在空間中的分布狀態(tài)，如果該物理量為標量，如溫度等，則對應的場(chǎng)如溫度場(chǎng)等稱(chēng)為標量場(chǎng)。如果該物理量為矢量，如速度等，則對應的場(chǎng)如速度場(chǎng)等稱(chēng)為矢量場(chǎng)。在空間直角坐標系中，一個(gè)矢量場(chǎng)

可以表示為：

高斯定理的公式左端可以表示為：

則

稱(chēng)為矢量場(chǎng)A沿閉合曲面

的外側

穿過(guò)的通量。高斯定理的公式左端表示從內穿出的正通量與從外穿入的負通量的代數和，由于指定了

的外側方向，當

表示該矢量場(chǎng)為凈流出，當

表示該矢量場(chǎng)為凈流入。

對于上述的矢量場(chǎng)

，其散度可表示為：

與通量類(lèi)似，散度也是矢量場(chǎng)的一個(gè)重要物理量，表示在場(chǎng)中的某一點(diǎn)處通量對體積的變化率。當散度不為0時(shí)，稱(chēng)該區域內是有源的，當散度恒為0時(shí)，則該區域是無(wú)源。

在引入通量和散度的定義后，高斯定理可以表示如下的矢量形式：

從場(chǎng)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，高斯定理描述了矢量場(chǎng)在某封閉區域中的通量和散度之間的關(guān)系，即矢量場(chǎng)

穿出封閉曲面的通量等于

的散度在封閉曲面圍成的空間內三重積分。

微分形式

若規定一個(gè)作用于

算子

如下：

由散度的定義式可得：

得到結果如下：

上式也稱(chēng)為高斯定理的微分形式。

相關(guān)推論

若某封閉區域空間
的邊界
由光滑或分片光滑的閉曲面所圍成，則
的體積可以表示為：

若某封閉區域空間
為空間二維單連通區域，函數P(x,y,z)，Q(x;y,z)，R(x.y,z)在
上具有一階連續偏導數，則以下三個(gè)條件式等價(jià)的。

（1）

（2）沿任何一個(gè)閉合曲面

的曲面積分為：

（3）以下曲面積分與

無(wú)關(guān)，僅與

的邊界曲線(xiàn)有關(guān)。

電磁場(chǎng)中的高斯定理

靜電場(chǎng)的高斯定理

靜電場(chǎng)中的高斯定理給出了靜電場(chǎng)中通過(guò)任一閉合曲面的電通量與該閉合曲面內所包圍的電荷之間的量值關(guān)系，是靜電場(chǎng)的一條基本定理。具體來(lái)說(shuō)，在真空中的靜電場(chǎng)中，任一閉合面

的電通量

等于該閉合面內的電荷代數和的

分之一，而與閉合面外的電荷無(wú)關(guān)，公式表示如下：

靜電場(chǎng)的高斯定理同樣適用于恒定電場(chǎng)中。

磁場(chǎng)的高斯定理

在磁場(chǎng)中，對于任意一個(gè)閉合曲面，由于磁感線(xiàn)是閉合曲線(xiàn)，即磁感線(xiàn)進(jìn)入和傳出閉合曲面的數量總是相等的，因此通過(guò)任何閉合曲面的總磁通量必為零，稱(chēng)為磁場(chǎng)的高斯定理，也稱(chēng)磁通連續定理，它表明磁場(chǎng)是無(wú)源場(chǎng)，用公式表示如下：

磁場(chǎng)的高斯定理也是麥克斯韋方程組的四個(gè)方程之一。

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